Nella mente di Newton
Inside Newton' mind
Voglio qui immergermi nella mente di Isaac Newton e provare a spiegare come la legge di gravitazione universale sia stata pensata e formulata. Intendo anche illustrare come il pensiero scientifico si evolve sulla base delle scoperte, sperimentali e teoriche, che lo hanno preceduto.
Enunciamo qui in forma matematica la legge di Newton sulla gravitazione universale: la forza di attrazione universale, a parte una costante numerica G che dipende dalle unita` di misura scelte, e` proporzionale al prodotto delle masse dei corpi che si attraggono e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza:
| F = G | m M |
| R2 |
Per non complicare le cose ho tralasciato la rappresentazione vettoriale della forza, che ha la direzione della retta congiungente i due corpi e segno negativo; e` cioe` radiale e attrattiva. Le leggi fisiche spesso contengono costanti universali. In questo caso G rappresenta la forza attrattiva (in unita` Newton) quando le due masse sono di un kg e poste ad un metro di distanza
Nella puntata precedente sulla prima misura sperimentale della velocita` della luce, abbiamo visto come le tre leggi di Keplero rappresentino la sintesi teorica di diversi decenni di osservazioni sperimentali sui moti dei corpi celesti. In particolare la terza legge di Keplero dice che il quadrato del tempo di rivoluzione T e` proporzionale al cubo del semi-asse maggiore dell'orbita R, o T2 = K R3, dove K e` un'opportuna constante di proporzionalita`.
Newton aveva gia scoperto la prima legge della dinamica, espressa come F = m a, che diceva che per imprimere un'accelerazione ad un corpo e` necessaria una forza, tanto piu' grande quanto e` grande la massa inerziale del corpo. Inoltre, per semplificare le cose, consideriamo un'orbita circolare, essendo il cerchio una particolare ellisse (prima legge di Keplero sulla forma delle orbite)
Il moto circolare uniforme era ben consciuto a quel tempo e l'unica componente di accelerazione del moto e` la componente centripeta pari a v2⁄R, dove v e` la velocita` del corpo.
Considerando un orbita circolare, con diametro pari a 2πR, e quindi tempo di rivoluzione pari a T = 2πR⁄v, con un po' di algebra elementare troviamo:
| F = m a = | m v2 | = | m (2πR)2 | = | m (2π)2R2 | = K' | m |
| R | T2R | KR4 | R2 |
Dove nella seconda uguaglianza abbiamo sostituito l'accelerazione centripeta al posto di a, nella terza abbiamo espresso la velocita` v in funzione del periodo dell'orbita v = 2πR⁄T, nella quarta abbiamo usato la terza legge di Keplero T2 = K R3, e nella quinta abbiamo infine semplificato R2 e raggruppato le costanti in una nuova costante K' = (2π)2⁄K.
In conclusione, per soddisfare la terza legge sperimentale di Keplero, Newton ha facilmente dedotto che la legge di gravitazione universale deve essere inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i due corpi. Inoltre dipende dalla massa inerziale del corpo attratto. Ma per simmetria, dal momento che la forza esercitata da un corpo A su un corpo B e` uguale ed opposta alla forza che B esercita su A, dentro la costante K' ci deve essere la massa M del corpo attrattore, perche` la legge deve essere simmetrica allo scambio dei due corpi, e quindi K'=G M
In questo breve viaggio nella mente di Newton abbiamo visto alcuni elementi chiave del ragionamento scientifico:
- Il primato dell' evidenza sperimentale. La formulazione teorica segue, non precede, l'evidenza sperimentale. Nei casi in cui la teoria faccia balzi in avanti rispetto alla sperimentazione, come per la scoperta del bosone di Higgs premiata quest'anno con il premio Nobel ma teorizzato negli anni sessanta, e` solo l'evidenza sperimentale che consente di dare significato ad un' ipotesi teorica.
- L'importanza della simmetria nelle leggi fisiche, che semplifica di molto il lavoro teorico.
- La conoscenza accumulata nel corso dell'evoluzione del pensiero fisico: Newton viene dopo Keplero che viene dopo Tycho Brahe, che viene dopo Galileo,....
Let me enter into Isaac Newton's mind and try to explain how he came to discover and formulate the law of universal gravity. I would also like to show how the scientific knowledge evolves on the basis of past discoveries, both experimental and theoretical.
Let's state here Newton's gravitation law: apart from a numerical constant G depending on the chosen units of measure, the attraction force is proportional to the product of the mass of the two bodies and inversely proportional to the square of their distance:
| F = G | m M |
| R2 |
To keep things simple I refrain from using the vectorial representation of the force, which is directed along the line connecting the two bodies and has a negative sign; it is thus a radial and attractive force. Often physical laws make use of universal constants. In the present case G is equal to the attractive force (in units of Newton) between two masses of 1 kg each at the distance of 1 m.
In a previous installment on the first experimental measures on the speed of light we saw how the three Kepler's laws constitute the theoretical synthesis of several decades of experimental observations on the motion of celestial bodies. In particular the third law states that the square of the revolution period T is proportional to the cube of the orbital semi-axis major, or T2 = K R3, where K is a suitable proportionality constant.
Newton had already formulated the main law of dynamics, written as F = m a, stating that in order to make a body accelerate a force is needed, and this force gets bigger as the inertial mass gets bigger. Also to keep things simple, lets conisder only circular orbits of planets, being the circle a special ellipse (first Kepler's law stating that planets have elliptical orbits).
Uniform circular motion was well understood at the time, where the only component of the acceleration is radial, i.e. along the line connecting the two bodies, and pointing backwards (negative): it is the centripetal accelation equal to v2⁄R, where v is the speed of the body.
When considering a circular orbit, with a diameter of 2πR, and hence a revolution period of T = 2πR⁄v, with a little algebra we find:
| F = m a = | m v2 | = | m (2πR)2 | = | m (2π)2R2 | = K' | m |
| R | T2R | KR4 | R2 |
Where in the second equality I have substituted a with the expression of the centripetal acceration, in the third I expressed v as a function of the orbital period v = 2πR⁄T, in the fourth I used the third Kepler's law T2 = K R3, and in the fifth I finally simplified R2 and grouped all constant terms into a new constant K' = (2π)2⁄K.
In summary, starting from the third Kepler's law, Newton has easily deducted that the universal gravitation force should be inversely proportional to the square of the distance between the two bodies. It also depends on the inertial mass of the body subject to the attraction. But he also had the intuition that the law should be symmetric when exchanging the roles between the attracting and the attracted body; i.e. the force applied by a body A onto a body B is equal and opposite to the force applied by B onto A (third Newton's law on action and reaction). So K' must contain the mass M of the attracting body, and hence K'=G M.
In this short journey into Newton's mind we saw few key elements of the scientific thinking:
- Experiments rule over theory. The theoretical formulation follows the experimental evidence. Even in those cases where the theory jumps ahead of experimentation, as it happened for the discovery of the Higg's boson which was awarded the Nobel prize this year but theoretically formulated in the 60's, it is only the experimental evidence that gives meaning to the theory.
- The importance of symmetry in physical laws, which greatly simplifies the theoretical work.
- Knowledge accumulates over the evolution of the scientific thought: Newton came after Keplero, who came after Tycho Brahe, who came after Galileo,....