Nella mente di Newton
Inside Newton' mind
Voglio qui immergermi nella mente di Isaac Newton e provare a spiegare come la legge di gravitazione universale sia stata pensata e formulata. Intendo anche illustrare come il pensiero scientifico si evolve sulla base delle scoperte, sperimentali e teoriche, che lo hanno preceduto.
Enunciamo qui in forma matematica la legge di Newton sulla gravitazione universale: la forza di attrazione universale, a parte una costante numerica G che dipende dalle unita` di misura scelte, e` proporzionale al prodotto delle masse dei corpi che si attraggono e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza:
| F = G | m M |
| R2 |
Per non complicare le cose ho tralasciato la rappresentazione vettoriale della forza, che ha la direzione della retta congiungente i due corpi e segno negativo; e` cioe` radiale e attrattiva. Le leggi fisiche spesso contengono costanti universali. In questo caso G rappresenta la forza attrattiva (in unita` Newton) quando le due masse sono di un kg e poste ad un metro di distanza
Nella puntata precedente sulla prima misura sperimentale della velocita` della luce, abbiamo visto come le tre leggi di Keplero rappresentino la sintesi teorica di diversi decenni di osservazioni sperimentali sui moti dei corpi celesti. In particolare la terza legge di Keplero dice che il quadrato del tempo di rivoluzione T e` proporzionale al cubo del semi-asse maggiore dell'orbita R, o T2 = K R3, dove K e` un'opportuna constante di proporzionalita`.
Newton aveva gia scoperto la prima legge della dinamica, espressa come F = m a, che diceva che per imprimere un'accelerazione ad un corpo e` necessaria una forza, tanto piu' grande quanto e` grande la massa inerziale del corpo. Inoltre, per semplificare le cose, consideriamo un'orbita circolare, essendo il cerchio una particolare ellisse (prima legge di Keplero sulla forma delle orbite)
Il moto circolare uniforme era ben consciuto a quel tempo e l'unica componente di accelerazione del moto e` la componente centripeta pari a v2⁄R, dove v e` la velocita` del corpo.
Considerando un orbita circolare, con diametro pari a 2πR, e quindi tempo di rivoluzione pari a T = 2πR⁄v, con un po' di algebra elementare troviamo:
| F = m a = | m v2 | = | m (2πR)2 | = | m (2π)2R2 | = K' | m |
| R | T2R | KR4 | R2 |
Dove nella seconda uguaglianza abbiamo sostituito l'accelerazione centripeta al posto di a, nella terza abbiamo espresso la velocita` v in funzione del periodo dell'orbita v = 2πR⁄T, nella quarta abbiamo usato la terza legge di Keplero T2 = K R3, e nella quinta abbiamo infine semplificato R2 e raggruppato le costanti in una nuova costante K' = (2π)2⁄K.
In conclusione, per soddisfare la terza legge sperimentale di Keplero, Newton ha facilmente dedotto che la legge di gravitazione universale deve essere inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra i due corpi. Inoltre dipende dalla massa inerziale del corpo attratto. Ma per simmetria, dal momento che la forza esercitata da un corpo A su un corpo B e` uguale ed opposta alla forza che B esercita su A, dentro la costante K' ci deve essere la massa M del corpo attrattore, perche` la legge deve essere simmetrica allo scambio dei due corpi, e quindi K'=G M
In questo breve viaggio nella mente di Newton abbiamo visto alcuni elementi chiave del ragionamento scientifico:
- Il primato dell' evidenza sperimentale. La formulazione teorica segue, non precede, l'evidenza sperimentale. Nei casi in cui la teoria faccia balzi in avanti rispetto alla sperimentazione, come per la scoperta del bosone di Higgs premiata quest'anno con il premio Nobel ma teorizzato negli anni sessanta, e` solo l'evidenza sperimentale che consente di dare significato ad un' ipotesi teorica.
- L'importanza della simmetria nelle leggi fisiche, che semplifica di molto il lavoro teorico.
- La conoscenza accumulata nel corso dell'evoluzione del pensiero fisico: Newton viene dopo Keplero che viene dopo Tycho Brahe, che viene dopo Galileo,....
Let me enter into Isaac Newton's mind and try to explain how he came to discover and formulate the law of universal gravity. I would also like to show how the scientific knowledge evolves on the basis of past discoveries, both experimental and theoretical.
Let's state here Newton's gravitation law: apart from a numerical constant G depending on the chosen units of measure, the attraction force is proportional to the product of the mass of the two bodies and inversely proportional to the square of their distance:
| F = G | m M |
| R2 |
To keep things simple I refrain from using the vectorial representation of the force, which is directed along the line connecting the two bodies and has a negative sign; it is thus a radial and attractive force. Often physical laws make use of universal constants. In the present case G is equal to the attractive force (in units of Newton) between two masses of 1 kg each at the distance of 1 m.
In a previous installment on the first experimental measures on the speed of light we saw how the three Kepler's laws constitute the theoretical synthesis of several decades of experimental observations on the motion of celestial bodies. In particular the third law states that the square of the revolution period T is proportional to the cube of the orbital semi-axis major, or T2 = K R3, where K is a suitable proportionality constant.
Newton had already formulated the main law of dynamics, written as F = m a, stating that in order to make a body accelerate a force is needed, and this force gets bigger as the inertial mass gets bigger. Also to keep things simple, lets conisder only circular orbits of planets, being the circle a special ellipse (first Kepler's law stating that planets have elliptical orbits).
Uniform circular motion was well understood at the time, where the only component of the acceleration is radial, i.e. along the line connecting the two bodies, and pointing backwards (negative): it is the centripetal accelation equal to v2⁄R, where v is the speed of the body.
When considering a circular orbit, with a diameter of 2πR, and hence a revolution period of T = 2πR⁄v, with a little algebra we find:
| F = m a = | m v2 | = | m (2πR)2 | = | m (2π)2R2 | = K' | m |
| R | T2R | KR4 | R2 |
Where in the second equality I have substituted a with the expression of the centripetal acceration, in the third I expressed v as a function of the orbital period v = 2πR⁄T, in the fourth I used the third Kepler's law T2 = K R3, and in the fifth I finally simplified R2 and grouped all constant terms into a new constant K' = (2π)2⁄K.
In summary, starting from the third Kepler's law, Newton has easily deducted that the universal gravitation force should be inversely proportional to the square of the distance between the two bodies. It also depends on the inertial mass of the body subject to the attraction. But he also had the intuition that the law should be symmetric when exchanging the roles between the attracting and the attracted body; i.e. the force applied by a body A onto a body B is equal and opposite to the force applied by B onto A (third Newton's law on action and reaction). So K' must contain the mass M of the attracting body, and hence K'=G M.
In this short journey into Newton's mind we saw few key elements of the scientific thinking:
- Experiments rule over theory. The theoretical formulation follows the experimental evidence. Even in those cases where the theory jumps ahead of experimentation, as it happened for the discovery of the Higg's boson which was awarded the Nobel prize this year but theoretically formulated in the 60's, it is only the experimental evidence that gives meaning to the theory.
- The importance of symmetry in physical laws, which greatly simplifies the theoretical work.
- Knowledge accumulates over the evolution of the scientific thought: Newton came after Keplero, who came after Tycho Brahe, who came after Galileo,....
Benvenuto
Welcome
Do il benvenuto a questo nostro blog al mio amico Bernhard, che ci ha scoperto via internet.
Bernhard, ex collega del Royal Instute of Technology di Stoccolma che mi batteva regolarmente a scacchi, ha avuto una carriera imprenditoriale di successo nella High Tech Industy svedese ed e` un caro amico.
I would like to welcome to our blog my good friend Bernhard, who found us on the web.
Bernhard, ex colleague at the Royal Institute of Technology in Stockholm, and who used to beat me regularly at chess, has a successful entrepreneurial carrier in the Swedish High Tech Industry, and is a good friend
La prima misura sperimentale della velocita` della luce (1676)
The first experimental measurement of the speed of light (1676)
Antefatto Storico
Tycho Brahe (1546-1601), astronomo danese di nobile casata, ha avuto una vita molto interessante. Nato da una ricca famiglia danese, nella Svezia del sud che a quel tempo faceva parte del regno di Danimarca, fu educato all'universita` di Copenhagen e visse una vita di privilegi e di stravaganze: perse il naso in un duello e si fece impiantare una protesi metallica di argento e oro; mantenne un'alce addomesticata nel suo castello svedese che prestava ad amici per feste e partite di caccia, e mori' per una vescicca perforata dopo un banchetto alla corte di Praga, ritenendo maleducato assentarsi dalla tavolata per soddisfare i propri bisogni. Fu anche un astronomo di altissima caratura e produsse tabelle con misure molto accurate per quei tempi sulle posizioni dei pianeti del sistema solare.
Fu sulla base di queste misure accurate che Giovanni Keplero, astronomo tedesco, produsse fra il 1609 e il 1619 le sue famose tre leggi che consentirono una descrizione accurata della meccanica celeste e la conoscenza quasi complete della dinamica dei pianeti e satelliti nel sistema solare: i pianeti hanno orbite ellittiche con il sole in uno dei due fuochi, descrivono aree uguali nella loro orbita in tempi uguali, il quadrato del periodo di rivoluzione e` proporzionale al cubo del semiasse maggiore.
Nel 1610, Galileo Galilei, puntanto il telescopio su Giove, scopre i primi quattro satelliti: Io, Ganimede, Europa e Callisto.
Un intuizione geniale
Il 22 Agosto 1676, l'astronomo italiano Gian Domenico Cassini, direttore dell'osservatorio di Parigi, annuncia all'Accademica delle Scienze Francese:
This second inequality appears to be due to light taking some time to reach us from the satellite; light seems to take about ten to eleven minutes [to cross] a distance equal to the half-diameter of the terrestrial orbit.
Si riferisce al lavoro fatto dal suo assistente, il danese Ole Rømer, che ha osservato per parecchi mesi la variazione del periodo di rivoluzione del satellite Io attorno a Giove. Per misurare il periodo di rivoluzione dell satellite di Giove, Ole misurava il tempo tra due eclissi successive. Faceva scattare il cronometro quando Io scompariva dietro Giove, o meglio dietro l'ombra di Giove proiettata dal sole.
Dalle osservazioni di Rømer, il periodo del satellite di Giove dipende in qualche misure dalla posizione relativa della Terra rispetto a Giove e in particolare dal calendario terrestre. Per capire l'intuizione di Rømer sono necessari alcuni numeri:
- Periodo di rivoluzione terrestre attorno al sole = 1 anno
- Semi-asse maggiore dell'orbita terrestre = 149 Mkm (milioni di chilometri)
- Periodo di rivoluzione di Giove attorno al sole, circa 12 anni
- Semi-asse maggiore orbitale di Giove = 778 Mkm
- Periodo di rivoluzione di Io attorno a Giove, circa 42 ore
Data la differenza tra l'anno di Giove e quello terrestre, in un mese terrestre ci sono circa 17 rivoluzioni di Io attorno a Giove, la terra si e` spostata di un dodicesima del proprio arco orbitale annuale, mentre Giove ha percorso un tragitto relativamente molto minore rispetto alla propria orbita (circa 1/144 di orbita). Possiamo qualitativamente dire che gran parte della distanza variabile tra la Terra e Giove e` dovuta al moto di rivoluzione della terra. In un anno terrestre la distanza tra la Terra e Giove varia circa come il diametro dell'orbita terrestre, cioe 2 volte 149 Mkm, o circa 300 Mkm.
Questa distanza viene percorsa dalla luce (che ora sappiamo viaggiare a circa 300000 km/sec) in circa un quarto d'ora. Infatti 300 000 000 km (distanza) diviso per 300 000 km/sec (velocita` luce) sono circa 1000 sec. Un quarto d'ora appunto.
E un quarto d'ora era circa il ritardo che Rømer ha osservato rispetto al tempo previsto per l'eclisse di Io dietro a Giove, quando la terra era alla massima distanza da Giove.
Era cioe` il ritardo che l'informazione sull' eclisse di Io aveva nel raggiungere Copenhagen rispetto a quanto la stessa informazione richiedeva sei mesi prima.
Considerate le conoscenze imconplete del tempo, il valore stimato per la velocita` della luce fu di circa 200000 km/sec, due terzi dal valore misurato con strumenti moderni. Tuttavia costituisce la prima approssimazione sperimentale di questa costante universale, e ha conseguenze notoveli sulla percezione di spazio-tempo e del concetto di causalita`. Concetti ed idee che un paio di secoli successivi confluirono nella teoria della relativita`speciale di Einstein.
Historical background
Tycho Brahe (1546-1601), a Danish astronomer from noble origins, had a very interesting life. Descendant from a very rich family in the south of Sweden, then part of the Danish kingdom, he was educated at Copenhagen University and lived a priviliged and eccentric life: he lost his nose in a duel and had a gold and silver metal implant built in its place; he reared a tame elk in his Swedish castle which he lent to his friends for events and died of a perforated bladder after a banquet at the court of Prague, because he considered rude to leave the table to relieve himself. He was also an astronomer of the highest rank and published very accurate tables on the position and the motion of the planets in the solar system.
Based on these precise measurements Johannes Kepler, a German astronomer, between 1609 and 1619 figured out his three famous rules for the motions of celestial bodies, which allowed an accurate and almost complete knowledge of the solar system at the time: planets have elliptical orbits with the sun in one of the two focal points; they span equal areas in their orbits in equal times, and the square of the revolution period is directly proportional to the third power of the semi-axis major.
In 1610 Galileo Galilei, when focusing his telescope on Jupiter, discovered the first four satellites: Io, Ganimede, Europa e Callisto.
A brilliant intuition
On the 22nd of August 1676, the Italian astronomer Gian Domenico Cassini, then director of the Paris observatory, announced to the French Academy of Science:
This second inequality appears to be due to light taking some time to reach us from the satellite; light seems to take about ten to eleven minutes [to cross] a distance equal to the half-diameter of the terrestrial orbit.
He is referring to the work of his assistant, the Dane Ole Rømer, who observed for consecutive months the changes in the revolution period of Juper's satellite Io. To measure the revolution period Ole recorded the times between two consecutive eclipses of the satellite. He would stop the clock when Io would disappear behind Jupiter, or, to be more precise, behind the shadow of Jupiter projected by the sun light.
According to Rømer's measurements, this revolution period depends on the relative position of Earth with respect to Jupiter, or more precisely on the terrestrial calendar. To better understand Rømer's intuition, let's consider some numbers:
- Revolution period of the Earth around the Sun = 1 year
- Semi-axis major of Earth's orbit = 149 Mkm (milion of kilometers)
- Revolution period of Jupiter around the Sun, about 12 years
- Semi-axis major of Jupiter's orbit = 778 Mkm
- Revolution period of Io around Jupiter, about 42 hours
Given the difference between the years of Juppiter and Earth, in one calendar month there are about 17 revolutions of Io around Jupiter, the Earth moved 1/12th of its annual orbit, while Jupiter has completed a relatively shorter arch of its orbit (about 1/144th of the total). We can qualitatively say that the largest variation in the distance between Jupiter and Earth comes from the Earth's revolution around the sun. In one terrestrial year this distance varies of about the diameter of Earth's orbit, or twice 149 Mkm, which is about 300 Mkm.
With our modern knowledge of the speed of light (about 300000 km/sec), we know that it takes about a quarter of an hour to cover this distance. In fact, when dividing the distance of 300 000 000 km by the speed of light of 300 000 km/sec, we get 1000 sec, which is roughly a quarter of an hour.
And a quarter of an hour was roughly the delay that Rømer measured with respect to the predicted time of an eclipse of Io, when the Earth was at the maximum distance from Jupiter.
It was the delay that the information about this eclipse experienced in reaching Copenhagen, as compared to the travelling time for the same information of a previous eclipse, six months earlier on.
When considering the limited knowledge of the time, the estimated measure of the speed of light was of about 200 000 km/sec, two third of what is known today. However it was the first experimental approximation of this universal constant, with fundamental implications on the space-time perception and on the concept of causality. These concepts and ideas formed the cultural framework that developed into the special relativity theory of Einstein, a couple of centuries later.
LO SCOPO DELLA VITA ED IL CASO
Citazione dal romanzo "E L'ECO RISPOSE" di Khaled Hosseini
"DICONO: TROVATI UNO SCOPO NELLA VITA E PERSEGUILO. MA TALVOLTA E' SOLO DOPO AVER VISSUTO CHE SI RICONOSCE CHE LA VITA AVEVA UNO SCOPO, E PROBABILMENTE UNO SCOPO ARCHITETTATO DAL CASO"
Citazione tratta da pag151 (ed. Piemme) del 3° romanzo di Khaled Hosseini. Hosseini è afgano, nato a Kabul nel 1965, a 11 anni emigrò con la famiglia in Francia e 4 anni dopo negli USA dove si è lauretao in medicina. Il suo 1° romanzo, IL CACCIATORE DI AQUILONI (THE KITE RUNNER), è stato un clamoroso caso letterario; solo tramite passaparola tra lettori, vendette milioni di copie negli Usa, ove rimase nella Best seller list de The New York Times per 101 settimane, di cui ben 4 al primo posto . Ovviamente poi è stato tradotto ovunque.
21-X-2013, Giorgio
Termodinamica della zuppa
Soup thermodynamics
Come ben sapete, in un contenitore riempito d'acqua c'e` un numero molto elevato di molecole (parecchi ordini di grandezza il numero di Avogadro per essere piu' precisi). Queste molecole non stanno ferme ma si muovono in tutte le direzioni con energie cinetiche disparate. Queste molecole sono comunque soggette a forze reciproche che mantengono il sistema coeso (differenza tra un liquido e un gas) anche se fossimo in assenza di gravita`. Pensate a quel che succederebbe versando un bicchiere d'acqua in una stazione spaziale orbitante: il liquido rimane coeso anche in assenza di un contenitore.
La temperature di questa massa d'acqua e` un indicatore dell'energia cinetica media delle molecole. Al di sotto della temperature di ebollizione, in media, le molecole non hanno energia sufficiente a vincere questa forza coesiva, e per lo piu' sono vincolate dalla superficie di separazione acqua-aria. Tuttavia una piccola percentuale di queste, con energie distribuite statisticamente attorno al valore medio, ha energia sufficiente ad oltrepassare la soglia e a sfuggire come vapore. Questo e` il fenomeno di evaporazione.
Se il contenitore d'acqua e` chiuso (c'e` un coperchio) ben presto si raggiunge l'equilibrio: un numero di molecole calde lascia il liquido per unita` di tempo, pari al numero molecole di vapore che ritornano nella fase liquida perdendo l'eccesso di energia. Questa energia in eccesso e` restituita al liquido
Se il contenitore viene aperto, l' equilibrio viene meno e l'evaporazione ha il sopravvento: piu' molecole lasciano la fase liquida di quante ne fanno ritorno.
Per di piu' se il volume d'aria sovrastante si muove in continuazione, aria umida viene sostituita da aria secca e l'evaporazione accelera.
Con l'evaporazione vengono statisticamente rimosse molecole calde che non vengono rimpiazzate, abbassando l'energia cinetica media del liquido che di conseguenza si raffredda.
Soffiamdo sulla minestra non fate altro che accelerare questo processo, ottenendo dunque l'effetto desiderato. Questo e` anche il motivo per cui avete freddo al mare, dopo un bagno, in una giornata di vento sostenuto.
As you well know, in a container filled with water there is an extremely high number of molecules (several order of magnitude the Avogadro number to be more precise). These molecules are not still, but keep moving in all directions with different kinetic energies. They however feel mutual attractive forces, and this keeps the system together (cohesion), this being the main difference between a liquid and a gas.This is also true in the absence of gravity. Just think of what would happend when pouring a glass of water on a orbiting space station: the water would still stick together without the container.
The temperature of this mass of water is an indicator of the average kinetic energy of the molecules. Below the boiling point, on average, molecules don't have enough energy to overcome the cohesive force, and are thus bound by the air-water separation surface. However a small percentage of these, with a statistical distribution of energies around the mean, has sufficient kinetic energy to escape, and to leave as vapor. This is called evaporation.
If the container is closed (there is a lid) soon an equilibrium condition is reached: an equal number of hot molecules leave the liquid phase per unit of time, as the number returning to the liquid from the air above, and releasing the eccess energy back to the liquid.
Moreover, if the air above keeps moving, moist air is replaced by dry air and the evaporation accelerates.
With this evaporation going on, there is a selective removal of hot molecules, which are not replaced, thus lowering the average kinetic energy of the liquid. As a result the liquid is chilled.
Therefore, when blowing on your soup, you accelerate this process achieving the desired effect. This is also the reason why you feel cold at the seaside, after a swin in a windy day.
Nuova serie
curiosita` di fisica per non addetti ai lavori
Cari amici,
con il sopraggiungere dei mei 50 anni, forse indotto da una malinconia naturale, ho deciso di rispolverare vecchi manuali e recuperare idee e conoscenze del mio passata di fisico.
Come regalo per il mio genetliaco ho scelto un dono significativo: la collezione completa delle Feynman Lectures on Physics (3 volumi) che ho comniciato a rileggere nel mio viaggio pendolare quotidiano.
Ho anche deciso di condividere con voi idee e curiosita` fisiche che impattano la nostra vita quotidiana, senza uso di formule. Per esempio:
- perche` la minestra si raffredda soffiandoci sopra,
- perche` il cielo e` blu, il sole rosso al tramonto e le nuvole grigie,
- perche` alcuni materiali sono trasparenti,
- e cose simil.
Ho anche deciso di scrivere i mie contributi sia in italiano che inglese nel caso un curioso lettore ci capiti sopra per caso dopo una ricerca su Google.
Appena ho un attimo, la prima puntata sulla termodinamica della minestra.
Dear friends,
for my 50th birthday, possibly induced by a natural form of nostalgia, i decided to dust off some old textbooks and recover ideas and knowledge from my past as a physict.
My present of choice has been the complete collection of the Feynman Lectures on Physics (3 volumes) which I started re-reading on my daily commute to work.
I also decided to share with you some ideas and physic curiosities, with a resonance on our daily life, like:
- why blowing on a soup chills it
- why the sky is blue, the setting sun red and clouds are grey,
- why some materials are transparent,
- ....
I also decided to contribute both in Italian and English in case a curious reader might stumble upon these pages from a Google's search
My first installment will be on soup thermodynamics
Ciao